Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes (Graduate Texts in Mathematics, 275)

The author has a special talent to be remarkably clear, uncommonly concise, and, at the same time, really precise! Te book's quality is also like in the old days; one that is meant to last even if used heavily. Not like most of what is printed in these days (print on demand concept). To read this book you would probably need as background what is contained in the author's book "An Introduction to Manifolds" which is also a great book!

This is a masterpiece by Loring W. Tu. It treats the same material in Kobayashi and Nomizu's famous "Foundations of Differential Geometry," but does so in a much accessible and clear manner. This is a must-read by anyone who is interested in pursuing applying differential geometry!

I recommend working through his first book on manifold first. I wish every advanced math book is written in this way. The book is incredible. I am waiting for his third book

This book and Tu's "An Introduction to Manifolds" compete with Jack Lee's trilogy as the standard modern textbook introductions to manifolds and differential geometry. Tu's books provide a clear, easy to follow and comprehensive path through the central topics in differential geometry that are important to both pure mathematicians and physicists alike. I view choosing between Tu's or Lee's books as matters of taste and choice of topics, not quality.

Received today by customer in perfect condition. Excellent service!! 5 - star all the way!!!

Clear and concise. The historical chapters (first 8 chapters) are most useful in motivating he subject.

I am a hobby mathematician only, so you should consider my comments with this in mind. The book covers what the title says. It is highly helpful for the understanding to have the knowledge of what is covered in the author‘s book ‚An Introduction to Manifolds‘! In an appendix the author covers the essentials of manifolds, unfortunately, there is no appendix for ‚de Rham Cohomology‘. In my view the book would be better if there was such an appendix. Without a good knowledge of de Rham, the last third of the book becomes difficult / incomprehensible, at least for me it was so- but the author tives this warning in his preface! There are very few typos, which is helpful for self study. With an appendix about de Rham cohomology, I believe 5 stars would be in order.

great book on advanced topics in differential geometry. Would recommend this book to any interested in general relativity

Loring Tu's book on Differential Geometry is simply a MASTERPIECE. I get the impression that ample thought has gone into writing every sentence, resulting in the most concise, efficient, but nevertheless sufficiently complete (for an introductory text), exposition on differential geometry that I have ever seen. Tu's mastery of the subject is clear in every page. It will appeal to mathematicians, while being also fully accessible to physicists, it is thoroughly modern and even the examples and exercises have (seemingly) been cherry-picked, one by one, such that the concepts and tools are absorbed by the reader as fully and deeply as seemingly possible with such a text. This book is so captivating and clear that I can't put it down. It will, I am sure, not be surpassed for a long time, and will surely become an instant classic. It starts off with a well-motivated discussion of curvature and vector fields (including Riemannian manifolds, connections, vector bundles, etc.), going on to differential forms, geodesics, Gauss-Bonnet thm, characteristic classes (including Pontrjagin, Euler, Chern), applications, and culminating in a beautiful detailed exposition of principle bundles (connections, curvature, covariant derivatives, etc.). There are also two carefully constructed appendices on the bare essentials of manifolds and invariant polynomials, nicely summarising some central concepts discussed in his `Introduction to Manifolds' book. There are even colourful pictures/figures, including images of key milestone mathematicians that have helped shape differential geometry. Finally, `Differential Geometry' by Tu lays down everything one needs to go on to study Bott and Tu's classic, and (should this be desirable) to apply what they have learnt to their own research. (Incidentally, one reviewer dropped a star because there's no section/appendix on de Rham cohomology; this is absolutely no limitation as the essentials of de Rham cohomology are covered with clarity in Bott and Tu and with even greater clarity in Tu's 'Introduction to Manifolds'.)

本書は定評あるテキスト『Differential Forms in Algebraic Topology』をR. Bottと共著したL. W. Tuの微分幾何学の入門書（出版年 2017）である。「接続、曲率、特性類」という魅力的な副題が添えられ、著者がこれらをどの様に叙述されているか、この分野が好きな方ならば興味を持たれるだろう。結論を先に述べると、小林昭七先生の教科書『曲線と曲面の微分幾何』と『接続の微分幾何とゲージ理論』を合わせて、極小曲面とゲージ理論（ヤン-ミルズ接続）の部分を外し、出来る限りself-containedに叙述したような書と言えるだろう【予備知識として、多様体とリー群の基礎知識が仮定されている】。 良く知られているように、微分幾何学の基礎は接続の理論を中心として構成されている。歴史的には、多様体の接束の接続である「線形接続（アフィン接続）」、ベクトル束の接続、主ファイバー束（及びその同伴束）の接続へと「ボトムアップ」的に発展した。論理的には、主ファイバー束の場合を最初に扱い、その特例として順にベクトル束の接続、さらに線形接続（その標準接続であるレビ・チビタ接続）を「トップダウン」的に叙述するのが理路整然としており美しい。実際、接続の理論の定番書Kobayashi-Nomizu『Foundations of Differential Geometry, Vol. I』(1963)や野水克己『現代微分幾何入門』(1981)はこの方式で叙述されている。最近の微分幾何学の「入門書」（例えば小林先生の上述書、今野宏『微分幾何学』、そして本書）では、ベクトル束の接続から始めて、主ファイバー束の接続を叙述することが多いようである【ボトムアップとトップダウンの折衷方式であるが、入門書の叙述方法として妥当なものだと思う】。 本書は全6章からなる。第3章までに曲面やユークリッド空間の超曲面の幾何に触れながら「ベクトル束の接続の理論」が解説されている。第4章ではテンソル積や外積代数など「多重線形代数」の基礎事項が述べられ、ファイバー束の接続や特性類の理論での使用を考慮して、「ベクトル値の微分形式、特にリー環やベクトル束に値を持つ微分形式」が詳述されている。最後の第5、第6章では、ベクトル束と主ファイバー束の接続が「接続形式」を用いて定義できることが示され、接続形式と曲率形式を用いて特性類を導入する「チャーン-ヴェイユ理論」が解説されている。 本書を一読して、特に印象に残ったこと、気づいたこと、などを述べてみたい。 ・リーマン計量を持つベクトル束の接続において、正規直交枠に関し「接続行列が交代的（歪対称）であることと計量接続（∇g = 0）であることが同値である」ことが明記されておりとても良い（命題11.4、p.83）。 ・「測地線の概念は接続のみに依存し、多様体の計量を必要としない」という註14.2 （p.103）に留意したい(*1)。 ・§15の問題15.5 (p.126)で、「リー群が両側不変計量を持つ場合、リー群としての指数写像とリーマン接続の指数写像が一致する」ことが指摘されているのが良い【この場合、左不変ベクトル場の積分曲線（リー群としての指数写像）と始点でそれを接ベクトルとする測地線（リーマン接続の指数写像）が一致することを意味する】(*2)。 ・17.7節でユークリッド空間の偶数次元超曲面に関するガウス-ボンネの定理が証明なしで述べられている。この定理が超曲面Mのガウス写像νの写像度deg(ν) が deg(ν) = Χ(M)/2 （Χ(M)はMのオイラー標数）という結果と同値であることを知っておきたい(*3)。 ・ベクトル束に幾つかの局所切断が存在することが、部分ベクトル束の存在の十分条件となるという定理20.4の有用性に感銘を受ける。例えばベクトル束Eの枠束Fr(E)（主束である）に水平分布が定義できることを主張する定理29.9で、この定理が鮮やかに利用されている。 ・§21の問題で、リー群Gの「モーラー-カルタン形式」θとその性質（g∈G、Lg*θ = θ、Rg*θ = Ad(g^-1)θ、dθ = -1/2【θ,θ】）が示されているので、主G束P（π: P→M）の接続形式ω（AはGのリー環Lie(G)の元、A*はAに対応する基本ベクトル場、ω(A*) = A、Rg*ω = Ad(g^-1) ω）との関連がもう少し詳しく叙述されていると更に良かったと思う。θとωはGのリー環に値をとる1-形式である。主G束Pは局所自明でファイバーはリー群Gであり、ωをファイバーに制限するとθに一致する。P上の垂直ベクトル場は基本ベクトル場で尽くされ【命題27.18。リー群Gはファイバーに作用するので、基本ベクトル場は垂直方向に作用する】、水平分布{Hu; u∈P}を右移動しても水平、即ち(Rg)Hu = Hug、であり垂直成分を持つことはない。これとKer(ω|TuP) = Huとあわせると、θの右移動の変換則がそのまま接続形式ωの変換則となる訳である。接続をファイバーである垂直方向だけでなく水平方向にも定義したことで、モーラー-カルタン方程式: dθ +1/2【θ,θ】= 0（の左辺）は接続形式ωでは一般にはゼロにならず、dω +1/2【ω, ω】から曲率形式Ωが現れるという事実を理解しておきたい。また「主束P上のベクトル束の短完全系列: ０→V→TP→π*TM→0 （VはTPの垂直部分束）の分裂とP上の水平分布Hとは1対1に対応する」という事実（§27.6）もあわせて確実に理解しておきたい。 日本の読者には、特性類の応用として挙げられている面白い結果（例えば、拡張されたガウス-ボンネの定理、ヒルツェブルフの符号数定理、リーマン-ロッホの定理、など）の証明がないのが物足りないと感じられるかもしれない。邦書では、吉田朋好『ディラック作用素の指数定理』や本間泰史『スピン幾何学』にそれらの証明があるので参考になると思う（洋書ならば数多くある）。 微分幾何学を勉強すれば必ずその名を知る著名な数学者(*4)の肖像画（ポートレート）が挿入されているのも本書の良い所である。SpringerのGTMの一冊であるが、とても丁寧に叙述されているので、我が国では多様体とリー群の基礎知識を身に付けた学部上級生でも十分に読みこなせると思う。この分野の経験者の方々が目を通されても、何か新たに得るものがある素敵な良書といえる。 【付記】レビューの記述を補足する事柄、個人的な見解、などを以下に記したい。 (*1) 曲線c(t)の接ベクトルc’(t)が（その曲線に沿って）平行であることが測地線の条件であるから、リーマン計量が関与しないことは明白であるが、局所座標で表示される測地線の方程式に現れる接続係数を通常（即ち、レビ・チビタ接続での）クリストッフェルの記号で表わす場合が多いため、測地線の概念に計量が関わっているという誤解を生むリスクがあると思う。従って、この註14.2は重要である。 (*2) この事実は意外に知られていない様に思う。評者が読んだことがある書では、加須栄篤『リーマン幾何学』の命題2.6（p.101）に記述されている。 (*3) 2n+1次元ユークリッド空間R^2n+1の（コンパクトで向きづけられた）2n次元超曲面Mのガウス写像ν: M→S^2nにつき、各々の体積要素をVolmとVolsと表記すると、νのヤコビ行列の行列式はdet(Jac(ν)) = K（ガウス曲率）であり、K・Volm = ν*(Vols)が成り立つ。従って、∫(M) K・Volm = ∫(M) ν*(Vols) = deg(ν)・∫(S^2n) Vols = deg(ν)・Vol(S^2n)より、この場合のガウス-ボンネの定理は等式(☆): deg(ν) = Χ(M)/2に帰着する。本書ではSpivakの有名なテキストを参照としているが、日本語のテキストではGuillemin-Pollack『微分位相幾何学』（三村護訳、現代数学社、1998）の第4章§9に等式(☆)の証明がある【註: 写像度を導入し、この形のガウス-ボンネの定理を初めて証明したのはH. ホップである(1926)。Heinz Hopfの経歴をWikipediaで調べて見て頂きたい。偉大な数学者が優秀な弟子を育成することにおいても超一流であることの素晴らしい範例がそこに見い出される】。 (*4) P. O. Bonnet (p.20)、T. Levi-Civita (p.45)、E. B. Christoffel (p.100)、W. Rinow (p.131)、L. Bianchi (p.203)、J. F. Pfaff (p.230)、C. Ehresmann (p.242)の肖像画を評者は本書で初めて知った。 【追記: 2020.5.19】 特性類の理論には、微分幾何学からのアプローチの他に、位相幾何学からのアプローチがあり、両方とも知っておくのが良いと思う。後者のテキストでは、ミルナー-スタシェフ『特性類講義』が非常に優れている【邦訳版には原著にない問題の解答がありとても便利である】。

Wonderful content it's for beginner to advanced level

El libro es una obra maestra. Es la continuación natural de los otros libros de Loring Tu. Recomiendo leer antes el libro An introduction to manifolds del mismo autor para tener una comprensión más fluida y total de este libro. No lo recomiendo para un primer acercamiento a la geometría diferencial. Lo considero más un libro para graduados de la carrera de matemáticas que quieren profundizar en los temas de geometría diferencial y Riemanniana.

"Introduction to Manifolds" sits proudly on my shelf as a testament to how much fun I had working through the book. Dr. Tu's ability to simplify the complicated landscape of Manifolds, forms and tensors is absolutely legendary, much like the famed skills of his advisor Dr. Bott, and it clearly shows he inherited that same gift for being able to distill the over-complicatedly abstract into simple, readable passages. Well, I am pleased to say, that Dr. Tu has, once again, done it again. His Differential Geometry book is an excellent introduction to the subject and should be placed within the Pantheon of classics such as De Carmo's books and Boothby's. Problems are clear, and give the reader a real flavour as to what the field has to offer. Dr. Tu's simple, direct style is greatly, greatly appreciated by analysts such as myself who prefer to stick to the realms of concrete measures and algebraic systems, functional analysis and operators, and shudder in horror any time the topic of conversation drifts away from the concreteness of vector spaces to the weird, globular world of geni, tori, surfaces, maps and cohomology. However, as is always necessary from time to time, the occasional words of "Fundamental forms" or "connections" or "geodesics" pop up in research, words echoing in the back of one's mind from times long ago and long forgotten, sitting in class trying to "piece" together (pardon the pun) why anybody would care about trying to "roll up a square and glue it together to make a donut" beyond the singular reason of pure nonsensical enjoyment, there comes a time where such forgotten words must be reviewed to understand to problem at hand. Dr. Tu's book will, of course, be the most excellent remedy to that mystifying need of a brief reminder. I look forward to tackling the third of Dr. Tu's holy "trilogy" so far (though I still desperately hope there is more to come, as these books are showing me just what fun I am missing out by not being in these fields) "Differential Forms in Algebraic Topology", written with his belovedly brilliant supervisor Dr. Bott. Perhaps not until old age, as I am quite occupied with my own problems at the moment, but nonetheless, I thank Dr. Tu for taking the time to so lovingly craft such an expertly written guide to the legendary art of "Differential Geometry" for the perplexed.